\documentclass[11pt]{article}
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\title{Algorithme de micro assemblage entre les lectures pair-end}
\author{The Author}
%\date{}                                           % Activate to display a given date or no date

\begin{document}
\maketitle

\section{La fonction de score}

\subsection{notation}

\begin{itemize}
\item[$P_{X}$ :] probabilité de la base lue sur la séquence X
\item[$P_{Y}$ :] probabilité de la base lue sur la séquence Y
\end{itemize}

$P_{X}$ et $P_{Y}$ sont liés au score de la base donnée par le séquenceur. Approximativement par la relation suivante (varie en fonction du schéma de score).

\begin{equation}
P_{\text{base lue}}= 1 - e^{-\frac{Q}{10}}
\end{equation}

Pour les Solexa, le type d'erreur prise en compte est une substitution. Nous ne considérons que ce séquenceur et posons que l'erreur à pu se produite de manière équivalente vers toutes les autres bases.

\begin{itemize}
\item[$S_{match}$ :] score d'un match plein entre deux nucléotides ($S_{match} > 0 $)
\item[$S_{mismatch}$ :] score d'un mismatch plein entre deux nucléotides ($S_{match} < 0 $)
\end{itemize}



\subsection{Score d'un match dans l'alignement}

Le score d'un match (ou d'un mismatch) est en fait la somme d'une fraction d'un match plein et d'une fraction d'un mismatch.



\begin{table}[htdp]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline  
                & A & C & G & T \\\hline 
                A & $\mathbf{P_{X}.P_{Y}}$ & $P_{X} . (1-P_{Y})/3 $ &  $P_{X} . (1-P_{Y})/3 $  &  $P_{X} . (1-P_{Y})/3 $  \\\hline 
                C & $P_{Y}.(1-P_{X})/3$ & $\mathbf{(1-P_{X})/3.(1-P_{Y})/3}$ & $(1-P_{X})/3.(1-P_{Y})/3$ & $(1-P_{X})/3.(1-P_{Y})/3$ \\\hline 
                G & $P_{Y}.(1-P_{X})/3$ & $(1-P_{X})/3.(1-P_{Y})/3$ & $\mathbf{(1-P_{X})/3.(1-P_{Y})/3}$ & $(1-P_{X})/3.(1-P_{Y})/3$ \\\hline 
                T & $P_{Y}.(1-P_{X})/3$ & $(1-P_{X})/3.(1-P_{Y})/3$ & $(1-P_{X})/3.(1-P_{Y})/3$ & $\mathbf{(1-P_{X})/3.(1-P_{Y})/3}$ \\\hline 
\end{tabular}
\caption{cas d'un match AA apparent}
\end{center}
\label{defaulttable}
\end{table}

\begin{equation}
\begin{array}{rcrcl}
S'_{(X=Y)} & = & S_{match} \{ &   &P_X P_Y   \\
         &   &              & + & 3 \frac{(1-P_{X})}{3} \frac{(1-P_{Y})}{3} \}  \\
         &   & + S_{mismatch} \{ &   & 3 P_{Y}\frac{(1-P_{X})}{3} \\
         &   &                   & + & 3 P_{X} \frac{(1-P_{Y})}{3} \\
         &   &                   & + & 6 \frac{(1 - P_X )}{3} \frac{(1 - P_Y)}{3} \}
\end{array}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{array}{rcrcl}
S'_{(X=Y)} & = & S_{match} \{ &   &P_X P_Y +  \frac{(1-P_{X})(1-P_{Y})}{3} \}  \\
         &   & + S_{mismatch} \{ &   &  P_{Y}(1-P_{X}) \\
         &   &                   & + & P_{X}(1-P_{Y}) \\
         &   &                   & + & \frac{2}{3} (1 - P_X )(1 - P_Y)  \}
\end{array}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{array}{rcrcl}
S'_{(X=Y)} & = & S_{match} \{ &   & \frac{4 P_X P_Y  - P_Y - P_X + 1}{3}  \}  \\
         &   & + S_{mismatch} \{ &   &  - \frac{4 P_X P_Y - P_Y  - P_X  - 2}{3} \}
\end{array}
\end{equation}

\begin{equation}
S'_{(X=Y)} =  \frac{1}{3} ( (4 P_X P_Y - P_X - P_Y)(S_{match}-S_{mismatch}) + ( S_{match} + 2 S_{mismatch}) )
\end{equation}

\begin{equation}
S'_{(X=Y)} =  \frac{1}{3} ( (4 \frac{1}{4} P_Y - \frac{1}{4} - P_Y)(S_{match}-S_{mismatch}) + ( S_{match} + 2 S_{mismatch}) )
\end{equation}

\begin{equation}
S'_{(X=Y)} = \frac{S_{match} + S_{mismatch}}{4} 
\end{equation}


\begin{table}[htdp]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline  
                & A & C & G & T \\\hline 
                A & $\mathbf{P_{X} . (1-P_{Y})/3 }$ & $P_{X}.P_{Y}$ &  $P_{X} . (1-P_{Y})/3 $  &  $P_{X} . (1-P_{Y})/3 $  \\\hline 
                C & $(1-P_{X})/3.(1-P_{Y})/3$ & $\mathbf{P_{Y}.(1-P_{X})/3}$ & $(1-P_{X})/3.(1-P_{Y})/3$ & $(1-P_{X})/3.(1-P_{Y})/3$ \\\hline 
                G & $(1-P_{X})/3.(1-P_{Y})/3$ & $P_{Y}.(1-P_{X})/3$ & $\mathbf{(1-P_{X})/3.(1-P_{Y})/3}$ & $(1-P_{X})/3.(1-P_{Y})/3$ \\\hline 
                T & $(1-P_{X})/3.(1-P_{Y})/3$ & $P_{Y}.(1-P_{X})/3$ & $(1-P_{X})/3.(1-P_{Y})/3$ & $\mathbf{(1-P_{X})/3.(1-P_{Y})/3}$ \\\hline 
\end{tabular}
\caption{cas d'un mismatch AC apparent}
\end{center}
\label{defaulttable}
\end{table}

\begin{equation}
\begin{array}{rcrcl}
S'_{(X \neq Y)} & = & S_{match} \{ &   &    P_{Y}\frac{(1-P_{X})}{3}   \\
         &   &              & + &  P_{X} \frac{(1-P_{Y})}{3}   \\
         &   &              & + & 2 \frac{(1-P_{X})}{3} \frac{(1-P_{Y})}{3} \}  \\
         &   & + S_{mismatch} \{ &   &   P_X P_Y \\
         &   &                   & + & 2 P_{Y}\frac{(1-P_{X})}{3} \\
         &   &                   & + & 2 P_{X} \frac{(1-P_{Y})}{3} \\
         &   &                   & + & 7 \frac{(1 - P_X )}{3} \frac{(1 - P_Y)}{3} \}
\end{array}
\end{equation}

\begin{equation}
S'_{(X \neq Y)}  =  \frac{1}{9} (  (P_{Y} + P_X - 4 P_X P_Y) (S_{match} -  S_{mismatch}) + 2S_{match}+ 7 S_{mismatch}   )
\end{equation}

\begin{equation}
S'_{(X \neq Y)}  =   \frac{1}{9} (  (S_{match} -  S_{mismatch}) (P_{Y} + \frac{1}{4} - 4 \frac{1}{4} P_Y)   + 7 S_{mismatch} + 2S_{match}  )
\end{equation}

\begin{equation}
S'_{(X \neq Y)}  =  \frac{1}{4}(S_{match} + 3 S_{mismatch})  
\end{equation}

\begin{eqnarray}
S'_{(X=Y)} = & \frac{1}{3} ( (4 P_X P_Y - P_X - P_Y)(S_{match}-S_{mismatch}) + ( S_{match} + 2 S_{mismatch}) ) \\
S'_{(X \neq Y)}  = & \frac{1}{9} (  (P_{Y} + P_X - 4 P_X P_Y) (S_{match} -  S_{mismatch}) + 2S_{match}+ 7 S_{mismatch}   ) 
\end{eqnarray}

\end{document}  