ProcMod.Rmd 15.8 KB
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---
title: "ProcMod Package"
author: "Eric Coissac & Christelle Gonindard-Melodelima"
date: "`r Sys.Date()`"
output: 
  rmarkdown::html_vignette
vignette: >
  %\VignetteIndexEntry{Vignette Title}
  %\VignetteEngine{knitr::rmarkdown}
  %\VignetteEncoding{UTF-8}
---

```{r setup, include = FALSE}
library(ProcMod)
knitr::opts_knit$set(
  collapse = TRUE,
  comment = "#>",
  root.dir = system.file("extdata", package="ProcMod")
)
```

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
## TODO

  - interactions
    On fait la rotation des tableau sur Y puis on multiplie terme à terme les
    deux tableau après rotation et on introduit le nouveau tableau comme une 
    variable suplementaire
  - VIF selection tableau non corrélés
  - pmm proc model mixte avec les facteurs
  - virer l'intersept
  - partitioner un tableau explicatif en sous-tableau
  - connecter avec glasso
  - connecter avec path analysis (lavaan)
  - test randomisation anova
  - test rendomisation coeficients

## interrogation : 

  Quid des pentes négative alors que les cov sont > 0
  --> Forcer à 0 les pentes négatives avec un warning 
      pour prévenir l'utilisateur
  
## Idéee de présentation du papier

  -> partir du procruste, proposer de lénéralisé à K tableau et montrer que c'est un cas particulier de l'analyse de coinertie. Apport supplementaire avec la partition de variance....
  -> tableau de var/cov donc de corrélation --> corrélation partiel --> réseaux

Christelle Melodelima committed
48
## Mathematic principles
49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

## Estimation des coefficients lors d'une régression linéaire multiple (2 variables)


$$ \hat{y}=a_1 x_1 + a_2  x_2 + b$$

On cherche à minimiser l'erreur commise entre la prédiction et la vraie valeur (méthode des moindres carrés)

$$
\left\{
  \begin{array}{rcr}
   \sum_i{(y_i- \hat{y_i})^2}=0 \\
 \sum_i{(y_i- (a_1 x_{1,i} + a_2  x_{2,i} + b))^2}=0
  \end{array}
\right.
64
$$
65 66 67 68 69 70 71 72 73 74
Pour trouver les paramètres qui minimise cette fonction, on calcule les trois dérivées partielles et on les annule :

$$
\left\{
  \begin{array}{rcr}
   -2 \sum_i{x_{1,i}(y_i- a_1 x_{1,i} + a_2  x_{2,i} + b)}=0 \\
 -2 \sum_i{x_{2,i}(y_i- a_1 x_{1,i} + a_2  x_{2,i} + b)}=0 \\
 -2 \sum_i{(y_i- a_1 x_{1,i} + a_2  x_{2,i} + b)}=0
  \end{array}
\right.
75
$$
76 77 78

 A partir de la dernière équation, on obtient :
 
79
$$
80 81 82
 \overline{y}-a_1\overline{x_1}-a_2\overline{x_2}-b=0
 \\
 \Leftrightarrow \hat{b}=\overline{y}-a_1\overline{x_1}-a_2\overline{x_2}
83
$$
84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121
 
 
En remplaçant dans la première équation on obtient :

$$
\frac{\sum_i{x_{1,i}y_i}}{n}-a_1\frac{\sum_i{x_{1,i}^2}}{n}-a_2\frac{\sum_i{x_{1,i}x_{2,i}}}{n}-b\frac{\sum_i{x_{1,i}}}{n}=0
\\
\Leftrightarrow
\frac{\sum_i{x_{1,i}y_i}}{n}-a_1\frac{\sum_i{x_{1,i}^2}}{n}-a_2\frac{\sum_i{x_{1,i}x_{2,i}}}{n}-(\overline{y}-a_1\overline{x_1}-a_2\overline{x_2}) \overline{x_1}=0
\\
\Leftrightarrow
\frac{\sum_i{x_{1,i}y_i}}{n}-a_1\frac{\sum_i{x_{1,i}^2}}{n}-a_2\frac{\sum_i{x_{1,i}x_{2,i}}}{n}-(\overline{y}-a_1\overline{x_1}-a_2\overline{x_2} ) \overline{x_1}=0
\\
\Leftrightarrow
S_{xy}-a_1S^{2}_{x_{1}}-a_2S_{x_1x_2}=0
\\
\Leftrightarrow
\hat{a}_1=\frac{S_{x_1y}-a_2S_{x_1x_2}}{S^{2}_{x_{1}}}
$$
De la même manière, on obtient : 

$$
\hat{a}_2=\frac{S_{x_2y}-a_1S_{x_1x_2}}{S^{2}_{x_{2}}}
$$


$$
\hat{a}_1=\frac{S_{x_1y}-\frac{S_{x_2y}-a_1S_{x_1x_2}}{S^{2}_{x_{2}}}S_{x_1x_2}}{S^{2}_{x_{1}}}
$$


$$
\hat{a}_1-\hat{a}_1\frac{S^2_{x_1x_2}}
                     {S^2_{x_2}S^2_{x_1}}=\frac{S_{x_1y}}
               {S^2_{x_1}}
               -\frac{S_{x_1x_2}S_{x_2y}}
                     {S^2_{x_2}S^2_{x_1}}
$$
122

123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156
$$
\hat{a}_1(1-\frac{S^2_{x_1x_2}}
                     {S^2_{x_2}S^2_{x_1}})=\frac{S_{x_1y}}
               {S^2_{x_1}}
               -\frac{S_{x_1x_2}S_{x_2y}}
                     {S^2_{x_2}S^2_{x_1}}
$$

$$
\hat{a}_1\frac{S^2_{x_2}S^2_{x_1}-S^2_{x_1x_2}}
               {S^2_{x_2}S^2_{x_1}}=
          \frac{S_{x_1y}}
               {S^2_{x_1}}
               -\frac{S_{x_1x_2}S_{x_2y}}
                     {S^2_{x_2}S^2_{x_1}}
$$

$$
\hat{a}_1\frac{S^2_{x_2}S^2_{x_1}-S^2_{x_1x_2}}
               {S^2_{x_2}S^2_{x_1}}=
          \frac{S_{x_1y}S^2_{x_2}}
               {S^2_{x_1}S^2_{x_2}}
               -\frac{S_{x_1x_2}S_{x_2y}}
                     {S^2_{x_2}S^2_{x_1}}
$$

$$
\hat{a}_1 
               =
          \frac{S_{x_1y}S^2_{x_2}
               -S_{x_1x_2}S_{x_2y}}
                     {S^2_{x_2}S^2_{x_1}-S^2_{x_1x_2}}
$$

Christelle Melodelima committed
157
D'un point de vue matricielle, les coefficients des pentes peuvent s'écrire à partir des matrices de covariances des variables explicatives (X) et des covariances entre la matrice explicative (X) et et de la variable à expliquer Y: 
158

Christelle Melodelima committed
159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206
Soit $\tilde{\theta}(y)$ l'estimation des différentes paramètres de la régression multiple : 
dans notre cas :
$$
\tilde{\theta}(y) = (\hat a_1, \hat a_2)
$$

En généralisant : 
$$
\tilde{\theta}(y) = (X'X)^{-1}X'Y
$$

## Calcul matriciel : calculs de parts de variances expliquées d'un tableau Y à partir d'un  tableau X explicatif

Soit Y la matrice à expliquer et X la matrice explicative.
Par procuste on a trois opérations : 

* translation (revient à aligner les barycentres : centrer )

* échelle : homothétie

*  rotation trouver l'angle qui minimise : méthode des moindres carrés


Seule contrainte de la méthode, la rotation doit être effectuée en dernier.


On cherche : $$ Min|Y-(1c'+\rho X A)| $$

On se retrouve à minimiser comme en relation linéaire l'écart entre X notre tableau de données explicative et la matrice Y (qui représente l'approximation en régression linéaire) :
$$1c'+\rho X A $$


avec $c'$ translation (centrage), $\rho$ échelle (normalisation), $A$ rotation

D'un point de vue matriciel : il faut que A'A=I orthogonal, diag(A'A)=1

Les matrices centrées de X et Y sont notées :
$$\tilde{Y}, \tilde{X}$$ 

Décomposition en valeur singulière : avec U'U=V'V=I
$$\tilde{Y}' \tilde{X} = U \Lambda V'$$
La matrice de rotation est donc estimée par : $$\hat{A}=VU'$$

Paramètre d'échelle qui correspond à c dans procruste : 
$$\hat{\rho}=\frac{trace(\hat{A}\tilde{Y}'\tilde{X})}{trace(\tilde{Y}'\tilde{X})}$$

Si on fait l'analogie avec la fonction programmée dans procrustre (équivalence : translation <=> b, échelle <=> c et rotation A) :

207 208
$$ 
      Xrot = \hat{\rho} X A \\
Christelle Melodelima committed
209 210 211 212 213
      b = \overline{Y}-\hat{\rho}\overline{X} A
$$

Si la translation n'a pas encore été faite, on a : 

214 215
$$
Xrot = 1c'+ \hat{\rho} X A
Christelle Melodelima committed
216 217 218 219 220
\\
     b = \overline{Y}-\hat{\rho}\overline{X} A
$$

Xrot est la nouvelle estimation de X qui a été transformé pour "être représenté dans la même base" que Y
221

Christelle Melodelima committed
222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232
Et du coup la différence entre Xrot et Y représente la part non expliquée du tableau Y par X 

$$
\sum(Y-X_{rot})^2 = SRC_{residuel}
$$


## Calcul matriciel : calculs de parts de variances expliquées d'un tableau Y à partir de deux  tableaux X1 et X2 explicatifs


Soit Y la matrice à expliquer, X1 et X2 deux matrices explicatives.
233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244
Par procuste on a trois opérations : 

* translation (revient à aligner les barycentres : centrer )

* échelle : homothétie

*  rotation trouver l'angle qui minimise : méthode des moindres carrés


Seule contrainte de la méthode, la rotation doit être effectuée en dernier.


Christelle Melodelima committed
245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259
On cherche : $$ Min|Y-[(1c_1'+\rho_1 X_1 A_1)+(1c_2'+\rho_2 X_2 A_2)]| $$

On se retrouve à minimiser comme en relation linéaire l'écart entre X1 et X2 nos tableaux de données explicatives et la matrice Y (qui représente l'approximation en régression linéaire) :
$$(1c_1'+\rho_1 X_1 A_1)+(1c_2'+\rho_2 X_2 A_2) $$



avec $c_1'$ et $c_2'$ translation (centrage), $\rho1$ et $\rho_2$ échelle (normalisation), $A_1$ et $A_2$ rotation

D'un point de vue matriciel, les matrices de rotations doivent vérifier les conditions suivantes : A'A=I orthogonal, diag(A'A)=1

Les matrices centrées sont notées :
$$\tilde{Y}, \tilde{X_1}, \tilde{X_2}$$ 

Décomposition en valeur singulière avec :
260 261
$$ 
U_1'U_1 = V_1'V_1 = I
Christelle Melodelima committed
262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307
\\
   U_2'U_2 = V_2'V_2 = I
$$
$$ 
\tilde{Y}' \tilde{X_1} = U_1 \Lambda V_1'
\\
\tilde{Y}' \tilde{X_2} = U_2 \Lambda V_2'
$$
La matrice de rotation est donc estimée par : 
$$
\hat{A_1} = V_1 U_1'
\\
\hat{A_2} = V_2 U_2'
$$

Paramètre d'échelle qui correspond à c dans procruste : 
$$
\hat{\rho_1} = \frac{trace(\hat{A_1}\tilde{Y}'\tilde{X_1})}{trace(\tilde{Y}'\tilde{X_1})}
\\
\hat{\rho_2} = \frac{trace(\hat{A_2}\tilde{Y}'\tilde{X_2})}{trace(\tilde{Y}'\tilde{X_2})}
$$

Si on fait l'analogie avec la fonction programmée dans procrustre (équivalence : translation <=> b, échelle <=> c et rotation A) :

$$ 
X_1rot = \hat{\rho_1} X_1 A_1
\\
X_2rot = \hat{\rho_2} X_2 A_2
\\
b = \overline{Y}-\hat{\rho_1}\overline{X_1} A_1 -\hat{\rho_2}\overline{X_2} A_2
$$

Si la translation n'a pas encore été faite, on a : 

$$ 
X_1rot = 1c_1'+ \hat{\rho_1} X_1 A_1
\\
X_2rot = 1c_2'+ \hat{\rho_2} X_2 A_2
\\
b = \overline{Y}-\hat{\rho_1}\overline{X_1} A_1 -\hat{\rho_2}\overline{X_2} A_2
$$


X1rot et X2 rot sont les nouvelles estimations de X1 et X2 qui ont été transformé pour "être représenté dans la même base" que Y.


308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326



avec $c'$ translation (centrage), $\rho$ échelle (normalisation), $A$ rotation

D'un point de vue matriciel : il faut que A'A=I orthogonal, diag(A'A)=1

Les matrices centrées de X et Y sont notées :
$$\tilde{Y}, \tilde{X}$$ 

Décomposition en valeur singulière : avec U'U=V'V=I
$$\tilde{X}' \tilde{Y}=U \Lambda V'$$
La matrice de rotation est donc estimée par : $$\hat{A}=VU'$$

Paramètre d'échelle qui correspond à c dans procruste : 
$$\hat{\rho}=\frac{trace(\hat{A}\tilde{X}'\tilde{Y})}{trace(\tilde{Y}'\tilde{Y})}$$

Si on fait l'analogie avec la fonction programmée dans procrustre (équivalence : translation <=> b, échelle <=> c et rotation A) :

327 328
$$
Yrot=\hat{\rho} Y A
329 330 331 332 333 334
\\
b=\overline{X}-\hat{\rho}\overline{Y} A
$$

? j'aurai plus tôt écrit, la translation a déjà du être faite dans procruste avant cette étape??

335 336
$$
Yrot=1c'+ \hat{\rho} Y A
337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348
\\
b=\overline{X}-\hat{\rho}\overline{Y} A
$$

? Yrot est la nouvelle estimation de Y qui a été transformé pour "être représenté dans la même base" que X. ???

Et du coup la différence entre X et Yrot représente la part non expliquée par Y du tableau de données X 

$$
\sum(X-Y_{rot})^2=SRC_{residuel}
$$

Christelle Melodelima committed
349 350


351 352
## ProcMod usage

353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366
### The procmd.frame data structure

```{r}
A = matrix(1:6,nrow=3)
B = matrix(1:9,nrow=3)
C = matrix(1:12,nrow=3)

pf = procmod.frame(A,B,D=C, 
                   row.names = c('x','y','z'))

pf
```


367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390
### Build a model

#### Prepare the data

Three datasets are used

```{r}
euk = read.csv("australia.euk.reads.plot.csv",
               head=TRUE,
               row.names = 1)

bac = read.csv("australia.bac.reads.plot.csv",
               head=TRUE,
               row.names = 1)

env = read.csv("biogegraphy_and_environment.csv",
               head=TRUE,
               row.names = 1)
```

Only numerical environmental variables are kept.

```{r}
env=env[,lapply(env,class)=="numeric"]
Eric Coissac committed
391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402

geovar = which(colnames(env) %in% c('Latitude','Longitude'))
soilvar= which(colnames(env) %in% c("KLg",  "pH", "AlLg", 
                                    "FeLg", "PLg", "SLg", 
                                    "CaLg", "MgLg",  "MnLg", 
                                    "CNratio", "CLg", "NLg"))
climvar= which(colnames(env) %in% c("Aspect", "TempSeasonality", 
                                    "MaxMonTemp", "Elevation", 
                                    "MeanMonTempRange", "AnnMeanTemp",  
                                    "Isothemality"))

geo    = env[,geovar]
403 404
```

Eric Coissac committed
405
Environmental data are centered and reduced
406 407

```{r}
Eric Coissac committed
408 409 410
env = scale(env,scale = TRUE)
soil   = env[,soilvar]
climat = env[,climvar]
411 412
```

Eric Coissac committed
413
Eukaryote and bacterial data are arranged in the same order than environmental data.
414 415

```{r}
Eric Coissac committed
416 417
euk=euk[rownames(env),]
bac=bac[rownames(env),]
418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443
```

Relative frequency tables for Eukaryota and Bacteria are root square transforms which corresponds to Hellinger transformation.

```{r}
euk=sqrt(euk)
bac=sqrt(bac)
```


Using the `vegan` package the Jaccard distance is computed among the sites according to the Eukaryota and Bacteria markers.

```{r}
library(vegan)
euk.dist=vegdist(euk,method = "jaccard")
bac.dist=vegdist(bac,method = "jaccard")
```

Using the `ade4` package a principal coordinate analysis is done to place the sites in a cartesian space reflecting the distances among the sites.

```{r}
library(ade4)
euk.pco =dudi.pco(euk.dist,full = TRUE)
bac.pco =dudi.pco(bac.dist,full = TRUE)
```

Eric Coissac committed
444 445 446 447 448 449 450 451 452
```{r}
mat.scale = function(mat) {
  cmat = scale(mat,scale = FALSE)
  mat.sd = sqrt(sum(cmat^2))
  return (cmat/mat.sd)
} 
```


453 454 455
Coordinates of the sites are extracted from the PCoA analysis

```{r}
456 457
euk.pco.li = euk.pco$li
bac.pco.li = bac.pco$li
458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477
```

```{r, fig.show='hold'}
plot(euk.pco.li[,1:2],cex=0,
     main="Eukariota")
text(euk.pco.li[,1:2],
     labels = rownames(euk.pco.li),
     cex=0.4)

plot(bac.pco.li[,1:2],cex=0,
     main="Bacteria")
text(bac.pco.li[,1:2],
     labels = rownames(bac.pco.li),
     cex=0.4)
```

The environmental variable are transformed using a Principal Component Analysis.

```{r}
env.pca = dudi.pca(env,scannf = FALSE,nf=nrow(env)-1)
478
env.pca.li = env.pca$li
479 480 481 482 483
plot(env.pca.li[,1:2],cex=0,
     main="Environmental data")
text(env.pca.li[,1:2],
     labels = rownames(env.pca.li),
     cex=0.4)
Eric Coissac committed
484 485

soil.pca = dudi.pca(soil,scannf = FALSE,nf=nrow(soil)-1)
486
soil.pca.li = soil.pca$li
Eric Coissac committed
487 488

climat.pca = dudi.pca(climat,scannf = FALSE,nf=nrow(climat)-1)
489
climat.pca.li = climat.pca$li
Eric Coissac committed
490 491

geo.pco = dudi.pco(dist(geo),full = TRUE)
492
geo.pco.li = geo.pco$li
Eric Coissac committed
493 494 495 496 497 498 499 500 501

```


```{r}
dh = matrix(1,nrow = 62,ncol=62)
diag(dh)=0
dh=as.dist(dh)
dh.pco =dudi.pco(dh,full = TRUE)
502
dh.pco.li = dh.pco$li
503 504
```

505
### Using the package to analyse relationship among the tables
506

507
First load the library
508

509 510
```{r}
library(ProcMod)
511 512
```

513
#### Computing the variance/covariance matix
514

515
```{r}
516 517 518 519 520
data = procmod.frame(euk=euk.pco.li,bac=bac.pco.li,
                     climat=climat.pca.li,soil=soil.pca.li,
                     geo=geo.pco.li,hist=dh.pco.li)

vars = mvar(data)
521
```
522

523 524 525
```{r echo=FALSE}
knitr::kable(vars)
```
526 527


528
#### Computing the correlation matix
529

530
```{r}
531
cors = mcor(data)
532
```
533

534 535
```{r echo=FALSE}
knitr::kable(cors)
536 537
```

538
#### Building the multiprocruste model
539

540
```{r}
541
euk.pm = pm(euk ~ soil + climat +  geo + hist ,data=data)
542 543
euk.pm
```
544

545
results can be ploted like a classical prooruste result
546

547 548 549
```{r}
plot(euk.pm)
```
550

551 552 553
```{r}
W=1/rowSums(euk.pm$residuals^2)
W=W/max(W)
554
euk.pm.w = pm(euk ~ soil + climat +  geo + hist ,data=data,weights = W)
555 556 557 558 559 560 561 562
euk.pm.w

```

```{r}
plot(euk.pm.w)
```

563
finaly the analysis of the variance corresponding to this model
564 565

```{r}
566 567
euk.anova = anova(euk.pm)
euk.anova
568 569
```

570
Partition of the variance among the factors
571 572

```{r}
573 574 575
partition = euk.anova[,"Sum Sq"]/sum(euk.anova[,"Sum Sq"])
names(partition)=rownames(euk.anova)
partition
576
```
577
```{r}
578 579
euk.anova.w = anova(euk.pm.w)
euk.anova.w
580
```
581
```{r}
582 583
partition = euk.anova.w[,"Sum Sq"]/sum(euk.anova.w[,"Sum Sq"])
names(partition)=rownames(euk.anova.w)
584 585
partition
```
586

Eric Coissac committed
587 588

```{r}
589
bac.pm = pm(bac ~ soil + climat +  geo + hist,data=data)
Eric Coissac committed
590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608
bac.pm
```

```{r}
plot(bac.pm)
```

```{r}
bac.anova = anova(bac.pm)
bac.anova
```

```{r}
partition = bac.anova[,"Sum Sq"]/sum(bac.anova[,"Sum Sq"])
names(partition)=rownames(bac.anova)
partition
```

```{r}
609 610
data$`geohist`=cbind(data$geo,data$hist)
soil.pm = pm( bac ~ soil + climat ,data=data)
Eric Coissac committed
611 612 613 614 615 616 617 618 619 620
soil.pm
```

```{r}
plot(soil.pm)
```

```{r}
soil.anova = anova(soil.pm)
soil.anova
621
soil.anova$`Sum Sq`/sum(soil.anova$`Sum Sq`)
Eric Coissac committed
622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632
```


```{r}
histoire = mat.scale(as.matrix(dh))
bacterie = mat.scale(as.matrix(bac.dist))
eukariote = mat.scale(as.matrix(euk.dist))
pm(eukariote ~ bacterie)
cor(bac.dist,euk.dist)
```

633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664
```{r}
X1 = rnorm(10,0,2)
X2 = rnorm(10,0,2)
X3 = rnorm(10,0,2)
if (cor(X1,X2)< 0)
  X2=-X2
if (cor(X1,X3)< 0)
  X3=-X3
X1C = scale(X1,scale = TRUE)
X2C = scale(X2,scale = TRUE)
X3C = scale(X3,scale = TRUE)
Y = 1 *X1C+ 2 *X2C + 3 * X3C + rnorm(10)
YC = scale(Y,scale = TRUE)
XXXX = procmod.frame(YC,X1C,X2C,X3C)

L = lm(YC~X1C+X2C+X3C,data = XXXX)
P = pm(YC~X1C+X2C+X3C,data = XXXX)
mcor(XXXX)
cor(do.call(data.frame,XXXX))
anova(L)
anova(P)
L
P
```

```{r}
y = c(4,2,3,4,5,5,7,5,4,9,7,6)
x1= c(1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2)
x2= c(8,7,7,9,5,4,3,6,7,2,3,2) 
scherrer = procmod.frame(y,x1,x2)
```